Kriteria Kelly dan rolet
Kriteria Kelly memberitahu penjudi yang mempunyai kelebihan berapa banyak untuk dipertaruhkan. Bagi rolet, ia memberikan jawapan jelas: tiada apa-apa.
Nilai taruhan Kelly = kelebihan / nisbah kemungkinan. Dengan kelebihan negatif, formula memberikan pecahan negatif, yang bermaksud jangan bertaruh. Kriteria itu tetap berguna untuk memahami sebab pemain yang mengesan berat sebelah menetapkan saiz taruhan demikian, dan sebab semua yang lain patut menetapkannya mengikut belanjawan.
Kriteria itu
John Kelly (1956) bertanya bagaimana seorang penjudi dengan kelebihan yang diketahui patut menentukan saiz taruhan untuk memaksimumkan pertumbuhan jangka panjang modal permainanwangModal permainanJumlah keseluruhan yang diketepikan untuk bermain. Pengurusan modal permainan ialah menentukan berapa banyak daripadanya yang dirisikokan bagi setiap taruhan dan setiap sesi.Baca sepenuhnya →. Jawapannya, bagi taruhan yang membayar b berbanding 1 dengan kebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → menang p dan kebarangkalian kalah q = 1 − p, ialah mempertaruhkan pecahan f* = (bp − q) / b daripada modal permainan. f* positif bermaksud pertaruhkan pecahan itu; sifar atau negatif bermaksud jangan bertaruh. Kelly bekerja di Bell Labs, dan makalahnya, “A new interpretation of information rate”, meletakkan masalah itu dalam teori maklumat Claude Shannon: seorang penjudi yang menerima petua melalui talian bising, pada nisbah kemungkinan adil, boleh mengembangkan modal permainan paling banyak pada kadar maklumat yang dibawa talian itu. Pada 1961, Leo Breiman membuktikan bahawa pertaruhan Kelly, dalam jangka panjang, mendahului sebarang strategi yang pada asasnya berbeza dan mencapai matlamat yang ditetapkan dalam kira-kira masa paling singkat.
Pertaruhan Kelly dalam rolet
Bagi merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Bagi straight uptaruhanStraight upSatu nombor tunggal, membayar 35:1.Baca sepenuhnya →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Setiap taruhan piawai memberikan pecahan Kelly negatif, kerana setiap taruhan mempunyai kelebihan negatif, dan nilai taruhan yang optimum untuk pertumbuhan ialah sifar. Pertaruhan Kelly pada rolet ialah cara rasmi untuk menyatakan perkara yang dikatakan halaman kelebihan kasino: tiada saiz yang membolehkan taruhan bernilai jangkaan negatif mengembangkan modal permainan.
Apabila Kelly terpakai
Pemain yang mengesan berat sebelah mempunyai kelebihan dan masalah saiz taruhan. Jagger, García-Pelayos dan Eudaemons semuanya perlu memutuskan berapa banyak untuk dipertaruhkan pada kelebihan yang mereka ukur, dan pertaruhan terlalu kecil membazirkan kelebihan manakala pertaruhan terlalu besar berisiko muflis sebelum kelebihan itu nyata. Bagi satu poketperalatanPoketSatu daripada 37 ruang bernombor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca sepenuhnya → yang muncul 1 dalam 30, Kelly menyatakan 0.57% daripada modal permainan bagi setiap putaran pada nombor itu: dengan $10,000, kira-kira $57 satu putaran, bagi pertumbuhan tipikal sekitar 0.054% setiap putaran, atau ×1.7 sepanjang 1,000 putaran. Keuntungan purata adalah dua kali ganda, 0.11% satu putaran, tetapi Kelly menyasarkan modal permainan tipikal, bukan purata, yang dinaikkan oleh beberapa siri bertuah. Separuh-Kelly ialah pilihan praktikal lazim kerana anggaran kelebihan itu tidak pasti.
Tipikal dan purata
Jurang antara modal permainan tipikal dan purata adalah luas. Ambil satu poket yang muncul 1 kali dalam 25, kelebihan 44%, angka yang diberikan Thorp bagi perantinya. Kelly mempertaruhkan 1.26% daripada modal permainan padanya. Selepas 1,000 putaran, modal permainan tipikal telah meningkat kira-kira 11.5 kali, manakala purata, yang ditarik naik oleh beberapa siri sangat bertuah, telah meningkat kira-kira 249 kali. Bertaruh lebih daripada Kelly menaikkan purata dan merendahkan hasil tipikal: pada dua kali taruhan Kelly, modal permainan tipikal hanya berganda, dan pada dua setengah kali taruhan Kelly ia menyusut, walaupun setiap taruhan masih membawa kelebihan 44%. Bertaruh kurang menelan sedikit kos: separuh taruhan mengekalkan kira-kira tiga perempat pertumbuhan.
Apabila kelebihan itu tekaan
Kelly menganggap kelebihan itu diketahui. Di meja, ia dianggarkan, dan anggaran itu biasanya terlalu tinggi. Contoh Epstein, dibina pada 44% Thorp, ialah nombor yang muncul 49 kali dalam 1,225 putaran roda sifar-sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → berganda: 1 kali dalam 25, kelebihan 44%, nilai taruhan Kelly 1.26%. Tetapi roda sifar berganda yang adil mempunyai 38 nombor, dan nombor yang paling sibuk antara semuanya mencapai 49 atau lebih dalam 1,225 putaran sekitar satu kali dalam sembilan. Nombor paling sibuk dalam mana-mana rekod juga nombor yang paling dibantu nasib, maka poket yang benar-benar berat sebelah pun kelihatan lebih baik dalam rekod daripada sebenarnya: kutukan pemenang. Jika poket itu sebenarnya tidak berat sebelah, nilai taruhan Kelly hanyalah taruhan yang secara purata rugi 5.26%. Jawapan lazim ialah mempertaruhkan sebahagian Kelly dan terus mengira sehingga kelebihan itu kekal dalam rekod baharu (lihat Cara Mengesan Roda Berat Sebelah).
Orang yang mempunyai kelebihan
Mengetahui kelebihan tidak sama dengan menggunakannya dengan baik. Haghani dan Dewey (2016) memberikan 61 orang $25 setiap seorang untuk bertaruh selama setengah jam pada syiling yang diberitahu akan menunjukkan kepala 60% daripada masa, dengan kemenangan dihadkan kepada $250 (pemain hanya mengetahui had itu apabila mencapainya). Kelly menyatakan untuk mempertaruhkan 20% modal permainan pada kepala setiap kali, dan penulis menganggarkan taruhan tetap 10–20% akan mencapai had sekitar 95% daripada masa. Hanya 21% pemain sampai ke sana. 28% muflis, 18 daripada 61 mempertaruhkan semuanya pada satu lambungan, kira-kira sepertiga berakhir di bawah $25 yang mereka mulakan, dan purata bayaran kemenanganwangBayaran kemenanganBayaran yang diberikan oleh taruhan menang, dinyatakan sebagai “X kepada 1” di atas nilai taruhan yang dipulangkan.Baca sepenuhnya → ialah $91. Hanya lima daripada 61 pernah mendengar kriteria Kelly. Dengan kelebihan, saiz taruhan menentukan sama ada anda mengekalkannya; tanpa kelebihan, seperti pada roda adil, tiada saiz membantu.
Apa yang patut digunakan sebaliknya
Tanpa kelebihan, penentuan saiz ialah persoalan belanjawan, bukan pertumbuhan: nilai taruhan = apa yang anda sanggup belanjakan bagi setiap putaran, diperoleh daripada belanjawan setiap jam dan kadar meja (halaman pengurusan modal permainan). Sumbangan Kelly kepada pemain biasa ialah kejelasan jawapannya: sifar. Segala yang anda pertaruhkan melebihi sifar ialah harga bermain, dipilih oleh anda, bukan dioptimumkan oleh mana-mana formula.
Catatan tentang Kelly pecahan dan “pengurusan wang”
Sistem yang dijual sebagai “Kelly untuk rolet” dan mengesyorkan peratusan tetap modal permainan bagi setiap taruhan ialah taruhan ratastrategiTaruhan rataMempertaruhkan amaun sama setiap putaran. Asas perbandingan setiap progresi.Baca sepenuhnya → dengan nilai taruhan yang mengecil. Ia kehilangan 2.70% daripada jumlah pertaruhanwangJumlah pertaruhanJumlah keseluruhan dipertaruhkan sepanjang sesi atau tempoh, termasuk kemenangan yang ditaruhkan semula. Juga: handle, action.Baca sepenuhnya → dan, kerana nilai taruhan mengecil apabila anda kalah, ia menjadikan kemuflisan perlahan dan bukannya tidak mungkin. Itu cara yang munasabah untuk memanjangkan belanjawan; itu bukan Kelly, yang akan menyuruh berhenti.
Formula
Soalan
Hanya dengan kelebihan yang diukur daripada roda berat sebelahmakmalRoda berat sebelahRoda yang kecacatan fizikalnya menjadikan sesetengah poket lebih berkemungkinan daripada 1/37. Jarang berlaku, hanya dapat dikesan dengan ribuan putaran yang direkodkan.Baca sepenuhnya → atau peranti pemasaan. Bukan pada roda adil.
Kerana anggaran kelebihan mempunyai ralat, dan pertaruhan terlalu besar lebih mahal daripada pertaruhan terlalu kecil. Separuh-Kelly memberikan tiga perempat pertumbuhan pada satu perempat variansmatematikVariansUkuran sejauh mana hasil tersebar di sekitar nilai jangkaan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan sama rata.Baca sepenuhnya →.
Tidak. Kelly mengoptimumkan pertumbuhan apabila ada kelebihan. Pengurusan modal permainan mengawal perbelanjaan apabila tiada kelebihan.
Teka-teki Matematik
Cuba ini sendiri dahulu. Setiap penyelesaian dilipat; bukanya apabila anda sudah bersedia.
Peranti ramalan Thorp dan Shannon memberi kelebihan kira-kira 44%. Pada satu nombor yang diramal, Kelly mengatakan agar mempertaruhkan 1.26% daripada modal permainanwangModal permainanJumlah keseluruhan yang diketepikan untuk bermain. Pengurusan modal permainan ialah menentukan berapa banyak daripadanya yang dirisikokan bagi setiap taruhan dan setiap sesi.Baca sepenuhnya →. Bagaimana jika kelebihan 44% yang sama datang pada satu taruhan yang tersebar merentasi lima nombor berjiran?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Kelly kemudian mengatakan 7.1% daripada modal permainan, dan modal permainan meningkat hampir enam kali lebih pantas: kira-kira 1.25 juta kali ganda sepanjang 1,000 taruhan, berbanding kira-kira 11.5 kali ganda.
Suatu straight uptaruhanStraight upSatu nombor tunggal, membayar 35:1.Baca sepenuhnya → dengan kelebihan 44% menang dengan peluang 0.04, kerana 36 × 0.04 = 1.44. Nilai taruhan Kelly ialah kelebihan dibahagi nisbah kemungkinan: 0.44/35 = 1.26%. Pertumbuhan lazim setiap taruhan ialah 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244, jadi 1,000 taruhan menggandakan modal permainan sebanyak kira-kira e^2.44 ≈ 11.5.
Sebarkan satu nilai taruhan merentasi lima nombor dan taruhan menang dengan peluang 0.20 serta membayar 36/5 bagi 1, iaitu 6.2 berbanding 1: masih kelebihan 44%, kerana 0.2 × 7.2 = 1.44. Nilai taruhan Kelly menjadi 0.44/6.2 = 7.10%, dan pertumbuhan setiap taruhan 0.01404, kira-kira 5.75 kali ganda. Sepanjang 1,000 taruhan itu ialah e^14.04, kira-kira 1.25 juta.
Kelebihannya sama; turun naiknya lebih kecil. Taruhan yang menang satu kali dalam lima boleh membawa bahagian modal permainan lebih besar tanpa berisiko muflis, dan pertumbuhan Kelly mengganjari hal itu. Thorp (1984) menggunakan contoh ini untuk menunjukkan sebab pemain ramalan mempertaruhkan sektorrodaSektorLengkok poket bersebelahan pada roda, berbeza daripada kumpulan pada susun atur taruhan.Baca sepenuhnya →. Dalam amalan lima jirantaruhanJiranSatu nombor dan dua poket pada setiap sisinya pada roda, lima cip straight up.Baca sepenuhnya → membawa kelebihan yang sedikit lebih rendah daripada nombor tunggal terbaik (lihat Advantage Play).
Seorang pemain telah menemui dua poketperalatanPoketSatu daripada 37 ruang bernombor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca sepenuhnya → berjiran yang setiap satu kena 1 kali dalam 25 dan bukannya 1 dalam 37. Patutkah mereka mempertaruhkan splittaruhanSplitDua nombor bersebelahan, membayar 17:1.Baca sepenuhnya → di antara kedua-duanya pada 17 berbanding 1, atau setiap nombor secara straight up? Berapakah jumlah yang dikatakan Kelly, dan sepantas manakah modal permainan bertumbuh berbanding satu poket sedemikian?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Tiada beza: 2.59% daripada modal permainan pada split, atau 1.29% pada setiap nombor. Modal permainan lazimnya meningkat kira-kira 155 kali ganda dalam 1,000 putaran, berbanding 11.5 kali ganda dengan satu poket.
Split menang dengan kebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → 2/25 = 0.08 dan membayar 17 berbanding 1, jadi ia memulangkan 18 × 0.08 = 1.44 bagi setiap unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya → yang dipertaruhkan: kelebihan 44%, sama seperti satu poket berat sebelah. Nilai taruhan Kelly ialah kelebihan dibahagi nisbah kemungkinan: 0.44/17 = 2.59%.
Dua taruhan straight up sebanyak 1.29% setiap satu memberikan hasil yang tepat sama. Apabila salah satu nombor keluar, satu cipwangCipToken yang mewakili amaun tetap, diletakkan pada susun atur taruhan untuk membuat taruhan. Juga: check.Baca sepenuhnya → menang 35 berbanding 1 dan yang satu lagi hilang, hasil bersih 34 × 1.29% = 44% daripada modal permainan, seperti yang dibayar split; apabila tiada satu pun keluar, kedua-duanya hilang.
Pertumbuhan setiap putaran ialah 0.00505, berbanding 0.00244 bagi satu poket, jadi sepanjang 1,000 putaran modal permainan lazimnya meningkat e^5.046 ≈ 155 kali ganda dan bukannya e^2.44 ≈ 11.5 kali ganda. Dua nombor baik bernilai jauh lebih daripada dua kali satu nombor, sebab itu pemain berat sebelah mempertaruhkan kumpulan nombor. Thorp (1984) menghitung perbandingan sama.
Selingan komik
Nilai taruhan rolet yang optimum untuk pertumbuhan ialah nombor yang semua orang sudah tahu.
Sumber
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”