Penumpuan jangka panjang: hukum nombor besar dalam rolet
Bagaimana purata menghampiri −2.70%, dan sebabnya mengambil masa lebih lama daripada jangkaan gerak hati.
Purata kerugian setiap putaran menumpu kepada −1/37 apabila putaran terkumpul, dengan sebaran yang mengecil seperti 1/√N. Selepas 1,000 putaran merah, purata biasanya berada dalam ±3% daripada jangkaannya.
Hukum nombor besar
Purata bergerak bagi taruhan bebas cenderung kepada nilai jangkaanmatematikNilai jangkaanHasil purata bagi setiap taruhan dalam jangka panjang. −1/37 daripada nilai taruhan untuk setiap taruhan Eropah piawai.Baca sepenuhnya →. Selepas N putaran taruhan sama rata pada satu unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya →, hasil purata setiap putaran mempunyai jangkaan −1/37 dan sisihan piawaimatematikSisihan piawaiPunca kuasa dua varians; jarak lazim suatu hasil daripada nilai jangkaan.Baca sepenuhnya → 1/√N. Pada N = 100, sebaran itu ialah 10% daripada nilai taruhan, hampir empat kali isyarat 2.7%. Pada N = 1,000 ia ialah 3.2%, kira-kira sama dengan isyarat. Pada N = 10,000 ia ialah 1%, dan kelebihan kasino kelihatan jelas. Kelebihan itu tidak kelihatan dalam satu sesi dan tidak dapat disangkal dalam setahun.
Apa yang menumpu dan apa yang tidak
Purata setiap putaran menumpu. Jumlah tidak: ia hanyut lebih jauh dari sifar apabila N meningkat, kira-kira 2.7% daripada N pada jangkaan, dengan sebaran √N di sekelilingnya. Seorang pemain yang telah bermain 10,000 putaran pada $10 dijangka rugi $2,700, tambah atau tolak $1,000. Perkadaran bergerak merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya → telah lama mendap berhampiran 48.65%; baki bergerak tidak mendap di mana-mana.
- p10 −$440
- p25 −$280
- median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Mengapa gerak hati gagal
Orang menjangka kelebihan akan kelihatan dengan cepat kerana 2.70% kedengaran banyak, dan menjangka siri panjang akan “seimbang” kerana hukum nombor besarmatematikHukum nombor besarPurata hasil saling bebas menumpu kepada nilai jangkaan apabila bilangan percubaan bertambah.Baca sepenuhnya → menyatakan purata menumpu. Kedua-dua gerak hati salah menilai skala: kelebihan kecil berbanding variansmatematikVariansUkuran sejauh mana hasil tersebar di sekitar nilai jangkaan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan sama rata.Baca sepenuhnya → satu putaran (σ = 1 unit berbanding EV = 0.027), maka perlu (1/0.027)² ≈ 1,400 putaran untuk kelihatan pada satu sisihan piawai. Penumpuan purata pula tidak menarik jumlah itu kembali; ia hanya mencairkan turun naik lalu.
Penumpuan bagi taruhan lain
Bagi straight uptaruhanStraight upSatu nombor tunggal, membayar 35:1.Baca sepenuhnya → σ = 5.84, maka pengiraan sama memberikan (5.84/0.027)² ≈ 47,000 putaran agar kelebihan mencapai satu sisihan piawai. Pemain straight up boleh bermain bertahun-tahun tanpa kelebihan dapat dibezakan daripada nasib dalam rekod sendiri, sambil membayar tepat 2.70% yang sama seperti pemain merah yang melihatnya dalam beberapa minggu.
Implikasi untuk menguji sistem
Sesiapa yang mendakwa sesuatu sistem berkesan patut dapat menunjukkannya sepanjang 10,000 atau lebih putaran dengan purata positif yang didokumenkan. Pada 1,000 putaran, purata positif pada taruhan sama rata ialah peristiwa satu dalam lima di bawah hipotesis nol; pada 100 putaran ia hampir lambungan syiling. Simulator di laman ini menjalankan 2,000 sesi sepanjang pilihan anda dalam satu saat, yang merupakan bukti lebih banyak daripada sebarang testimoni.
Formula
Soalan
KebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → untuk pernah di hadapan semula menghampiri sifar apabila anda bermain. Jumlah itu hanyut turun tanpa had.
Tidak. Ia bermaksud turun naik lalu menjadi pecahan lebih kecil daripada sampel yang lebih besar.
Bagi taruhan sama rata, sekitar 10,000 sebelum kelebihan kelihatan jelas. Bagi straight up, sekitar 50,000.
Teka-teki Matematik
Cuba ini sendiri dahulu. Setiap penyelesaian dilipat; bukanya apabila anda sudah bersedia.
Dua rakan bermain 20 pusingan permainan adilmatematikPermainan adilPermainan yang tiada pihak mempunyai kelebihan: setiap taruhan mempunyai nilai jangkaan sifar.Baca sepenuhnya →, lambungan syiling atau merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya → lawan hitamtaruhanHitamTaruhan sama rata pada 18 nombor hitam. Bahasa Perancis: noir.Baca sepenuhnya → dengan sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → dipulangkan, dan menyimpan skor berjalan. Kira pusingan apabila setiap seorang mendahului (seri dikira bagi sesiapa yang mendahului sejurus sebelumnya). Yang manakah lebih mungkin: pendahuluan dikongsi 10 pusingan kepada 10, atau seorang rakan mendahului sepanjang 20?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Seorang rakan mendahului sepanjang 20 pusingan jauh lebih mungkin: 35.2%, mengira salah seorang rakan, berbanding 6.1% bagi 10 kepada 10 yang sama rata.
Peluang skor berjalan yang adil berada pada paras sama selepas 2k pusingan ialah u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 selepas 10 pusingan dan 0.176 selepas 20. Hasil klasik, hukum arka sinus, menyatakan peluang seorang rakan yang dinamakan mendahului tepat 2k daripada 2n pusingan ialah u(2k) × u(2n − 2k).
Mendahului sepanjang 20: u(20) × u(0) = 0.176 bagi setiap rakan, 35.2% bagi salah seorang. Bahagian sama rata: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1%, bahagian paling kurang mungkin daripada semuanya.
Jadi dalam permainan adil pendahuluan jarang bertukar tangan. Seorang pemain yang mendahului sepanjang malam, atau di belakang sepanjang malam, tidak melihat apa-apa yang luar biasa, dan ia tidak menyatakan apa-apa tentang roda atau kemahiran. Epstein (2013) memberikan hukum sama bagi permainan lebih panjang: separuh masa pihak yang lebih bernasib baik mendahului lebih daripada 85% permainan.
Selingan komik
Purata menumpu. Jumlah hanya terus pergi.
Sumber
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.