Risiko kemusnahan modal
Kebarangkalian kehilangan seluruh modal permainan anda sebelum mencapai sasaran.
Bagi taruhan sama rata, risiko muflis mengikut rumus gambler’s ruin. Dengan modal permainan $500, taruhan $10 dan sasaran $600, anda mencapai sasaran kira-kira 57% masa dan muflis selebihnya.
Soalannya
Anda mempunyai a unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya → modal permainanwangModal permainanJumlah keseluruhan yang diketepikan untuk bermain. Pengurusan modal permainan ialah menentukan berapa banyak daripadanya yang dirisikokan bagi setiap taruhan dan setiap sesi.Baca sepenuhnya → dan mahu mencapai a + b unit, dengan mempertaruhkan satu unit pada satu masa pada taruhan sama ratataruhanTaruhan sama rataMerah/hitam, ganjil/genap, tinggi/rendah. 18 nombor, membayar 1:1.Baca sepenuhnya → dengan kebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → menang p = 18/37 dan kebarangkalian kalah q = 19/37. Apakah peluang anda mencapai sasaran sebelum mencapai sifar? Jawapannya diusahakan oleh Pascal, Fermat dan Huygens pada 1650-an dan merupakan antara hasil tertua dalam kebarangkalian.
Rumus gambler’s ruin
P(reach target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Risiko muflismatematikRisiko kemusnahan modalKebarangkalian kehilangan seluruh modal permainan sebelum mencapai sasaran atau kiraan putaran.Baca sepenuhnya → ialah satu tolak itu. Dengan q/p = 19/18 ≈ 1.0556, nisbah bertumbuh secara eksponen mengikut bilangan unit, jadi rumus menghukum unit kecil dengan teruk: semakin banyak taruhan diperlukan untuk mencapai sasaran, semakin banyak kali tol 2.70% dibayar sepanjang jalan.
Membacanya
Unit lebih kecil memudaratkan. Cubaan menggandakan $500 dengan taruhan $10 berjaya 6% masa; dengan satu taruhan $500 ia berjaya 48.6% masa. Permainan berani, taruhan lebih sedikit dan lebih besar, memaksimumkan peluang mencapai sasaran dalam permainan jangkaan negatif kerana ia meminimumkan bilangan kali kelebihan dikenakan. Ia juga memaksimumkan variansmatematikVariansUkuran sejauh mana hasil tersebar di sekitar nilai jangkaan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan sama rata.Baca sepenuhnya → perkara yang berlaku kepada anda, dan mengakhiri malam dengan cepat. Teorem itu disebut “permainan berani adalah optimum” dan dibuktikan oleh Dubins dan Savage pada 1965.
Asal masalah itu
Soalan itu lebih tua daripada rolet. Pada 1656 Pascal mengemukakan teka-teki kepada Fermat: dua pemain membaling tiga dadu, setiap seorang bermula dengan 12 kaunter; balingan 11 menggerakkan satu kaunter ke satu arah, balingan 14 ke arah lain. Kedua-duanya menyelesaikannya, dan Huygens, yang mendengarnya menerusi surat ahli matematik Pierre de Carcavi, mencetaknya pada 1657 sebagai masalah kelima buku pertama tentang kebarangkalian, dengan jawapan tanpa bukti. Sebelas boleh dibaling 27 cara dan empat belas hanya 15, jadi setiap kaunter bergerak ke arah pemain pertama 9 kali daripada 14, dan rumus di atas, dengan 12 kaunter setiap seorang, menjadikannya kira-kira 1,157 kali lebih mungkin menang segalanya daripada kehilangan segalanya. Kelebihan 2.70% jauh lebih kecil, tetapi rumus sama menunjukkan kesannya sepanjang banyak taruhan.
Satu taruhan berani sebenar
Pada April 2004 Ashley Revell, seorang warga Inggeris muda, menjual hampir segala miliknya, termasuk pakaian, dan membawa $135,300 ke Plaza di Las Vegas. Selepas beberapa taruhan kecil dia meletakkan seluruh jumlah itu pada merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya →, sekali sahaja. BolaperalatanBolaBola kecil yang dilancarkan sepanjang landasan melawan rotor. Bola moden ialah ivorine atau Teflon, 18–21 mm.Baca sepenuhnya → mendarat pada merah 7 dan dia keluar dengan $270,600. Pada roda sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → berganda, satu putaran itu berpeluang 47.37% dan merugikannya $7,121 secara purata, kelebihan 5.26% pada satu taruhan. Jika disebar kepada taruhan $10, sasaran yang sama hampir tiada harapan. Permainan berani tidak menjadikan taruhan itu baik; ia menjadikannya sesingkat mungkin.
Risiko muflis tanpa sasaran
Jika anda hanya bermain hingga muflis atau berhenti selepas N putaran, soalannya menjadi “apakah peluang modal permainan saya menyentuh sifar dalam N putaran?”. Tiada bentuk tertutup bagi N umum tetapi simulator di laman ini mengiranya: modal permainan $500 pada $10 pada merah hampir tidak pernah muflis dalam 100 putaran (bawah 1%), muflis kira-kira 9% masa dalam 500 putaran, dan kira-kira 95% masa dalam 5,000. Tanpa peraturan berhenti, kebarangkalian menuju 100%, iaitu versi jangka panjang kelebihan kasinomatematikKelebihan kasinoBahagian setiap nilai taruhan yang disimpan kasino secara purata: 2.70% dalam rolet Eropah.Baca sepenuhnya →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- median −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Berapa lama, dan berapa jauh di hadapan
Dua hasil klasik lagi menjawab soalan yang sebenarnya ditanya pemain. Tanpa sasaran, taruhan rata sama rata bertahan secara purata 37 putaran bagi setiap unit modal permainan pada roda Eropah dan 19 pada roda Amerika, kerana setiap putaran mengambil 1/37 unit secara purata (1/19 pada roda Amerika): 100 unit bertahan 3,700 putaran secara purata, walaupun separuh sesi sedemikian tamat dalam 3,134 (lihat Tempoh dan Kos Sesi). Dan sebesar mana pun modal permainan, peluang pada roda Eropah untuk pernah berada k unit di hadapan ialah (18/19)ᵏ. Itu 95% bagi satu unit dan 58% bagi sepuluh, tetapi tiada modal permainan, walau sedalam mana pun, memberikan peluang sama rata untuk pernah 13 unit di hadapan; pada roda Amerika peluangnya ialah (9/10)ᵏ dan jatuh di bawah separuh pada 7 unit.
Modal permainan bagi peluang lima puluh lima puluh
Terbalikkan soalan: berapa banyak perlu anda bawa untuk mempunyai sekurang-kurangnya peluang lima puluh lima puluh menang amaun tertentu sebelum kehilangan segalanya? Bagi kemenangan kecil, tidak banyak. Bagi kemenangan lebih besar, modal permainan diperlukan meningkat dengan mendadak, dan selepas suatu titik tiada modal permainan mencukupi, kerana walaupun yang tidak berpenghujung memberikan kurang daripada peluang lima puluh lima puluh untuk pernah berada sejauh itu di hadapan. Taylor (2021) menyatakannya begini: pada roda Amerika, untuk mempunyai peluang lima puluh lima puluh mencapai 100 unit anda mesti bermula dengan 94, mempertaruhkan 94 untuk menang 6. Pada roda Eropah anda memerlukan 88.
Pengajaran praktikal
Tentukan perkara yang anda cuba lakukan. Jika matlamatnya kemenangan tertentu, bertaruh besar dan sedikit. Jika matlamatnya malam panjang, bertaruh kecil dan terima bahawa kelebihan akan mengambil 2.70% daripada jumlah pertaruhanwangJumlah pertaruhanJumlah keseluruhan dipertaruhkan sepanjang sesi atau tempoh, termasuk kemenangan yang ditaruhkan semula. Juga: handle, action.Baca sepenuhnya → yang besar. Jika matlamatnya kedua-duanya, sesuatu mesti dikorbankan, dan biasanya sasaran.
Formula
Soalan
MartingalestrategiMartingaleProgresi yang menggandakan taruhan selepas setiap kekalahan. Lihat bahagian Strategi untuk perkara yang dilakukannya dan yang tidak.Baca sepenuhnya → mengurangkannya bagi sesi pendek dan meningkatkannya secara mendadak bagi sesi panjang. Taruhan ratastrategiTaruhan rataMempertaruhkan amaun sama setiap putaran. Asas perbandingan setiap progresi.Baca sepenuhnya → pada unit lebih besar ialah cara jujur untuk mengurangkannya.
Rumus di atas bagi sama rata. Bagi taruhan varians tinggi, muflis lebih mungkin pada nilai taruhan kecil dan sasaran dicapai secara lebih tidak sekata; gunakan kalkulator.
Setiap langkah ke arah sasaran sedikit kurang mungkin daripada setiap langkah ke arah muflis; nisbah itu berganda sepanjang bilangan langkah.
Teka-teki Matematik
Cuba ini sendiri dahulu. Setiap penyelesaian dilipat; bukanya apabila anda sudah bersedia.
Anda mempunyai $100 dan mahu $1,000, hanya bertaruh pada merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya →. Pelan satu: pertaruhkan $1 setiap kali. Pelan dua: pertaruhkan semua yang anda ada sehingga melepasi $500, kemudian hanya cukup untuk mencapai $1,000. Pelan manakah lebih baik, dan berapa banyak bezanya?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Pelan dua, jauh lebih baik. Ia mencapai $1,000 kira-kira 9.0% daripada masa, hampir dengan 10% yang adil. Pelan satu berjaya kira-kira 7 kali dalam 10²².
Dalam permainan adilmatematikPermainan adilPermainan yang tiada pihak mempunyai kelebihan: setiap taruhan mempunyai nilai jangkaan sifar.Baca sepenuhnya → anda akan mencapai $1,000 daripada $100 satu kali dalam sepuluh tidak kira apa yang anda lakukan, kerana nilai purata wang anda kekal $100.
Kelebihan itu mengambil 2.70% daripada setiap taruhan, jadi lebih sedikit jumlah yang anda pertaruhkan, lebih dekat anda kekal kepada satu dalam sepuluh. Pelan dua menentukan perkara itu dalam segelintir taruhan: $100 menjadi $200, $400, $800, dan kemudian $200 mencukupi. Ia berjaya kira-kira 9.0% daripada masa. Pelan satu mengambil ribuan taruhan sebelum perjalanan berakhir, dan kelebihan itu, kecil pada setiap satu, bertambah menjadi hampir pasti muflis.
Ini hasil Dubins–Savage dalam bentuk paling ringkas (Epstein, 2013): dalam permainan yang memihak kasino, pertaruhkan sebanyak yang anda perlukan, sesedikit kali yang boleh.
Anda mempunyai $500 dan mahu $1,000, berhenti sebaik sahaja memilikinya. Anda memilih satu jenis taruhan dan mengulanginya hingga ia menang sekali atau wang habis. Jenis manakah memberikan peluang terbaik?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Satu taruhan $500 pada merah: 48.6%. Setiap pelan yang menyebarkan wang itu ke atas taruhan lebih kecil adalah lebih buruk.
Pilih setiap nilai taruhan supaya satu kemenangan mencukupi: $30 pada straight uptaruhanStraight upSatu nombor tunggal, membayar 35:1.Baca sepenuhnya → menang $1,050, $60 pada splittaruhanSplitDua nombor bersebelahan, membayar 17:1.Baca sepenuhnya → menang $1,020, dan seterusnya. Kemudian kira peluang sekurang-kurangnya satu taruhan menang sebelum wang habis. Enam belas straight up $30 semuanya terlepas dengan peluang (36/37)¹⁶ = 64.5%, jadi ia mencapai $1,000 sebanyak 35.5% daripada masa.
Jadual menunjukkan setiap taruhan. Merah paling baik kerana ia tiba dalam satu taruhan, jadi kelebihan dibayar sekali, pada $500. Six linetaruhanSix lineEnam nombor dalam dua baris bersebelahan, membayar 5:1. Bahasa Perancis: sixain.Baca sepenuhnya → di tempat kedua kerana ia hanya perlukan tiga. Satu taruhan sedozentaruhanSedozen1–12, 13–24 atau 25–36, membayar 2:1.Baca sepenuhnya → paling buruk, peluang 12/37; walaupun dimainkan dalam unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya → $250 hingga anda mempunyai $1,000 atau lebih, sedozen itu mencapai sasaran hanya 46.4% daripada masa.
Bollman (2024) membina jadual sama bagi roda Amerika. Baris sedozennya mempunyai kesilapan: ia patut berbunyi 12/38 = 31.6%.
taruhannilai taruhan × bilangan taruhanpeluang mencapai $1,000Straight up$30 × 1635.5%Split$60 × 835.9%Street$90 × 534.5%Corner$125 × 436.7%Six line$166, $166, $16841.2%Sedozen$500 × 132.4%Merah$500 × 148.6%Anda mempertaruhkan satu unit pada merah, putaran demi putaran, dengan modal permainanwangModal permainanJumlah keseluruhan yang diketepikan untuk bermain. Pengurusan modal permainan ialah menentukan berapa banyak daripadanya yang dirisikokan bagi setiap taruhan dan setiap sesi.Baca sepenuhnya → yang tidak pernah habis. Selepas putaran pertama anda satu unit di hadapan atau satu unit di belakang. Berapakah peluang bahawa anda akan kembali tepat sama pada suatu ketika nanti?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan 36 dalam 37, 97.3%. Pada roda Amerika ia ialah 36 dalam 38, 94.7%.
Jika putaran pertama menang (18 kali dalam 37), anda satu unit di hadapan, dan kelebihan menyeret setiap sesi tanpa akhir ke bawah, jadi lambat laun anda melalui semula paras sama: itu pasti. Jika kalah (19 kali dalam 37), anda perlu menaik satu unit, dan peluang untuk berada satu unit di hadapan pada suatu ketika ialah 18/19 (lihat jadual di atas).
Bersama-sama: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Secara umum peluangnya ialah 1 tolak jurang antara peluang menang dan kalah dalam satu putaran: 1 − 1/37 pada roda Eropah, 1 − 2/38 pada roda Amerika. Dalam permainan tanpa sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → jurangnya tiada dan peluangnya 1: skor sentiasa kembali sama. Epstein (2013) memberikan peraturan umum.
Teka-teki Pascal tahun 1656: dua pemain melontar tiga dadu, masing-masing bermula dengan 12 kaunter. Setiap 11 memindahkan satu kaunter kepada pemain pertama, setiap 14 memindahkan satu kepada pemain kedua; balingan lain tidak dikira. Seberapa mungkin pemain pertama memenangi kesemua 24? Dan jika anda sebaliknya mempertaruhkan 1 unit pada merah setiap putaran terhadap seorang rakan yang bertindak sebagai bank, 12 unit setiap seorang, seberapa mungkin anda memenangi kesemua 24?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Pemain pertama menang kira-kira 1,157 kali dalam 1,158. Anda, pada merah, memenangi kesemua 24 unit hanya kira-kira 34% daripada masa.
Tiga dadu membentuk 11 dalam 27 cara dan 14 dalam 15 cara, jadi setiap kaunter yang bergerak pergi kepada pemain pertama 27 kali dalam 42, 9 kali dalam 14. Dengan setiap pihak bermula pada 12, peluang mengambil semuanya ialah 1/(1 + r¹²), dengan r ialah nisbah peluang pihak lain kepada peluang anda.
Bagi pemain pertama r = 5/9, dan (5/9)¹² ≈ 0.00086, jadi peluangnya kira-kira 0.99914: nisbah kemungkinan 9¹² kepada 5¹², atau 282,429,536,481 kepada 244,140,625, kira-kira 1,157 kepada 1. Huygens mencetak tepat nombor itu pada 1657.
Pada merah, r = 19/18 kerana sifar, dan (19/18)¹² ≈ 1.913: peluang anda ialah 1/2.913 ≈ 34.3%. Syiling akan memberikan 50%. Kelebihan 2.70% pada setiap taruhan terkumpul, sepanjang banyak taruhan yang diperlukan, menjadi jurang 16 mata.
Selingan komik
Permainan berani adalah optimum. Ia juga cepat berakhir.
Sumber
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”