Masalah: roda hari jadi
Berapa banyak putaran sebelum sesuatu nombor berulang? Jauh lebih sedikit daripada tekaan kebanyakan orang.
Masalah hari jadi pada roda 37-poketperalatanPoketSatu daripada 37 ruang bernombor pada rotor. Juga: slot, cup.Baca sepenuhnya →: selepas hanya 8 putaran, terdapat peluang melebihi separuh bahawa sesuatu nombor sudah muncul dua kali. Pemain membaca pengulangan sebagai corak; itulah kelakuan yang dijangka bagi roda adil.
Masalahnya
Putarkan roda Eropah yang adil. Berapa banyak putaran sehingga kebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → bahawa sekurang-kurangnya dua putaran telah menunjukkan nombor yang sama melebihi separuh? Kebanyakan pemain meneka sekitar 18 atau 19, separuh daripada 37. Jawapannya ialah 8.
Penyelesaiannya
Kira kebarangkalian tiada pengulangan dan tolak daripada satu. Selepas k putaran, p(semuanya berbeza) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Bagi k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44, jadi p(ada pengulangan) ≈ 0.56. Bagi k = 14 ia 0.93; bagi k = 20 ia 0.996. Gerak hati gagal kerana bilangan pasangan putaran bertambah seperti k², dan mana-mana pasangan boleh sepadan.
Mengapa ia penting di meja
Papan keputusan bagi 20 nombor terakhir hampir sentiasa akan menunjukkan sekurang-kurangnya satu pengulangan, selalunya dua atau tiga. Pemain melihat “17 muncul dua kali dalam sepuluh putaran” dan membuat kesimpulan 17 panas; pengiraan hari jadi menyatakan pengulangan dalam sepuluh putaran berlaku 74% daripada masa dan nombor yang berulang itu rawak. Corak itu nyata; maknanya tidak.
Masalah lanjutan
Berapa banyak putaran sehingga nombor tertentu, katakan 17, muncul dua kali? Itu soalan berbeza dengan jawapan jauh lebih besar: jangkaan penantian ialah 74 putaran, dan kebarangkalian dua 17 dalam 20 putaran sekitar 10%. Perbezaan antara “sesuatu nombor berulang” (8 putaran) dan “nombor ini berulang” (74 putaran) ialah keseluruhan perbezaan antara corak yang anda perasan kemudian dan ramalan yang dibuat terlebih dahulu.
Cubalah
Jalankan Permainan Demo selama sepuluh putaran dan lihat sejarahnya. Biasanya akan ada pengulangan. Jalankan sekali lagi. Nombor berulang itu akan berlainan. Lakukan ini sepuluh kali dan anda sudah melihat masalah hari jadimatematikMasalah hari jadiBerapa ramai orang diperlukan sebelum dua orang mungkin berkongsi hari jadi, atau berapa banyak putaran sebelum suatu nombor mungkin berulang. Pada roda 37 poket, 8 putaran cukup untuk peluang melebihi separuh.Baca sepenuhnya →; lakukan seribu kali (simulator boleh) dan anda telah mengukurnya.
Formula
Soalan
Tepat sekali, dengan 37 poket dan bukannya 365 hari. 23 orang memberikan 50% bagi hari jadi; 8 putaran memberikan 56% bagi roda.
50% selepas kira-kira 19 putaran. Masih rutin.
Tidak. Ribuan putaran daripada satu roda mungkin begitu; satu pengulangan tidak pernah begitu.
Teka-teki Matematik
Cuba ini sendiri dahulu. Setiap penyelesaian dilipat; bukanya apabila anda sudah bersedia.
Papan keputusan di sebelah roda Amerika memaparkan 16 putaran terakhir. Seberapa mungkinkah tiada nombor muncul dua kali padanya?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Kira-kira 2.5%: lebih kurang 39 papan daripada 40 menunjukkan sekurang-kurangnya satu ulangan.
Kira putaran demi putaran. Putaran pertama boleh menjadi apa-apa. Putaran kedua mesti tidak mengenainya: 37 kemungkinan daripada 38. Putaran ketiga mesti tidak mengenai kedua-duanya: 36 daripada 38. Putaran keenam belas mesti tidak mengenai lima belas nombor: 23 daripada 38.
Darabkan: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
Papan tanpa ulangan ialah yang jarang. Papan dengan ulangan tidak menyatakan apa-apa tentang roda.
Dalam sepuluh putaran roda Eropah, berapakah kebarangkalian 17 muncul tepat lima kali? Mana-mana nombor muncul lima kali atau lebih? Dan mana-mana nombor muncul sekurang-kurangnya tiga kali dalam empat putaran?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan 17 tepat lima kali: 1 dalam 315,576. Mana-mana nombor lima kali atau lebih: kira-kira 1 dalam 8,333. Mana-mana nombor tiga kali atau lebih dalam empat putaran: 1 dalam 349.
17 lima kali: pilih lima putaran yang mana daripada sepuluh, 252 cara, setiap satu dengan kebarangkalian (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Secara bersama, 1 dalam 315,576.
Mana-mana nombor: setiap satu daripada 37 nombor mempunyai kebarangkalian 1 dalam 308,325 untuk lima atau lebih kena, yang memberikan 37 dalam 308,325, atau 1 dalam 8,333. Kes jarang dua nombor dengan lima kena setiap satu dikira dua kali, tetapi menolaknya tidak mengubah apa-apa pada ketepatan ini.
Tiga kali dalam empat putaran: bagi satu nombor, 4 × 36 + 1 = 145 daripada 37⁴ hasil yang mungkin; bagi mana-mana daripada 37 nombor, 145/37³ = 1 dalam 349.
Bagi roda sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → berganda, angka sepadan ialah 1 dalam 359,275, 1 dalam 9,243 dan 1 dalam 368. Jurang antara “17” dan “mana-mana nombor” ialah masalah hari jadimatematikMasalah hari jadiBerapa ramai orang diperlukan sebelum dua orang mungkin berkongsi hari jadi, atau berapa banyak putaran sebelum suatu nombor mungkin berulang. Pada roda 37 poket, 8 putaran cukup untuk peluang melebihi separuh.Baca sepenuhnya → sekali lagi: terdapat 37 cara untuk terkejut.
Selingan komik
Sesuatu berulang awal. Sesuatu itu rawak.
Sumber
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”, roulette questions.