Masalah: had meja
Martingale $10 di meja $500. Berapa kerap ia terhenti, berapa banyak kerugian apabila itu berlaku, dan adakah menaikkan had membantu?
Enam kekalahan berturut-turut menghentikannya: 1.8% setiap kitaran, kira-kira 60% sesi 100 putaran. Kehentian itu menelan $630. Menaikkan had kepada $5,000 menjadikan kehentian lebih jarang (0.25% setiap kitaran) dan lebih besar ($5,110). Kerugian jangkaan bagi setiap dolar yang dipertaruhkan ialah 2.70% pada apa-apa had.
Masalahnya
Seorang pemain mempertaruhkan $10 pada merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya → dan menggandakan selepas setiap kekalahan, lalu menetapkan semula selepas menang. Maksimum meja ialah $500. (a) Berapa banyak kekalahan berturut-turut menghentikan progresistrategiProgresiMana-mana peraturan yang mengubah nilai taruhan berdasarkan hasil terdahulu. Progresi negatif menaikkannya selepas kalah, positif selepas menang.Baca sepenuhnya → itu? (b) Apakah kebarangkalianmatematikKebarangkalianKebarangkalian sesuatu hasil, daripada 0 hingga 1 atau 0% hingga 100%. Satu nombor: 1/37 = 2.70%.Baca sepenuhnya → bagi setiap kitaran? (c) Apakah yang hilang apabila ia terhenti? (d) Bagaimanakah had $5,000 mengubah jawapan? (e) Adakah apa-apa had menjadikan sistem menguntungkan?
Penyelesaian (a)–(c)
Nilai taruhan: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Yang ketujuh ialah 640 > 500, maka enam kekalahan menghentikannya. (b) p(kalah) = 19/37 pada merah; (19/37)⁶ = 0.0183, kira-kira 1.8% setiap kitaran. Satu kitaran berlangsung kira-kira dua putaran secara purata, maka sesi 100 putaran mempunyai lebih kurang 50 kitaran dan p(sekurang-kurangnya satu kehentian) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, iaitu 63 unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya → asas, berbanding $10 yang cuba dimenangi kitaran itu.
Penyelesaian (d)
Pada $5,000: nilai taruhan hingga 2,560 dibenarkan; taruhan kesepuluh, 5,120, ditolak. Sembilan kekalahan menghentikannya: (19/37)⁹ ≈ 0.25% setiap kitaran, kira-kira 11% sesi 100 putaran. Kerugian apabila terhenti: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. Pemain telah membeli malapetaka yang lebih jarang pada harga malapetaka lebih besar. Dalam banyak sesi, kos jangkaan kehentian ialah p × kerugian ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 setiap kitaran pada had $500 dan 0.0025 × 5,110 = $12.8 pada $5,000; dalam pembundaran, ia nombor yang sama, dan ia ialah kerugian jangkaanmatematikKerugian jangkaanNilai jangkaan didarabkan dengan jumlah keseluruhan yang dipertaruhkan; amaun purata yang hilang sepanjang sesi atau tempoh.Baca sepenuhnya → kitaran tolak $10 yang diperoleh kitaran menang.
Penyelesaian (e)
Tidak. Kerugian jangkaan setiap kitaran = (jumlah nilai taruhan jangkaan dalam kitaran) / 37, pada apa-apa had, kerana setiap taruhan ialah −1/37 daripada nilainya sendiri. Had hanya menentukan cara kerugian diagihkan antara banyak kemenangan kecil dan sedikit kerugian besar. Tanpa had dan dengan modal permainanwangModal permainanJumlah keseluruhan yang diketepikan untuk bermain. Pengurusan modal permainan ialah menentukan berapa banyak daripadanya yang dirisikokan bagi setiap taruhan dan setiap sesi.Baca sepenuhnya → tidak terhingga, progresi itu akan “berfungsi”, dalam erti kata ia tidak akan pernah terhenti, dan ia juga akan mempertaruhkan jumlah tanpa had dengan kerugian jangkaan 2.70% daripada jumlah tanpa had itu. Had mejamejaHad mejaTaruhan minimum dan maksimum yang dibenarkan. Maksimum itulah yang menghentikan progresi gandaan.Baca sepenuhnya → bukan perkara yang menghalang MartingalestrategiMartingaleProgresi yang menggandakan taruhan selepas setiap kekalahan. Lihat bahagian Strategi untuk perkara yang dilakukannya dan yang tidak.Baca sepenuhnya → daripada berfungsi. Pengiraan yang menghalangnya.
Dua meja sebenar
Contoh Thorp ialah meja $1 dengan maksimum $1,000, tempat pemain berharap memenangi $30 untuk makan malam satu dolar demi satu dolar. Nilai taruhan 1, 2, 4 … 512 membenarkan sepuluh taruhan, jadi sepuluh kekalahan berturut-turut menghentikan progresi: sekali dalam 785 kitaran pada roda Eropah (sekali dalam 613 pada roda Amerika), dengan kos $1,023. Tiga puluh kitaran semuanya berjaya 96.2% daripada masa. Baki 3.8% kehilangan kira-kira $1,000, dan hasil purata malam itu ialah −$9.17, iaitu tepat 1/37 daripada $339 yang dipertaruhkan secara purata oleh tiga puluh kitaran. Meja $5 dengan maksimum $2,000 tidak berbeza: nilai taruhan hingga $1,280 membenarkan sembilan taruhan, dan kehentian berlaku sekali dalam 403 kitaran pada roda Eropah (sekali dalam 323 pada roda Amerika) serta menelan $2,555.
Pemain kaya
Berikan progresi itu modal permainan yang besar dan bukannya had rendah: 1,000 unit, asas satu unit dan 1,000 putaran pada merah, bermula semula pada satu unit setiap kali gandaan seterusnya melebihi baki. Kami mensimulasikan sejuta malam sebegitu. Pada roda Eropah, 52% berakhir di hadapan, 21% kehilangan semuanya, dan hasil purata ialah −124 unit. Malah dalam permainan tanpa sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya →, yang setiap taruhannya adil, hanya kira-kira 60% akan berakhir di hadapan. Malam lazim ialah kemenangan kecil; purata dibayar oleh malam yang berakhir pada sifar.
Pengajarannya
Kasino menetapkan had untuk mengehadkan variansmatematikVariansUkuran sejauh mana hasil tersebar di sekitar nilai jangkaan. Tinggi untuk straight up, rendah untuk taruhan sama rata.Baca sepenuhnya → sendiri, bukan untuk menewaskan sistem. Menewaskan Martingale ialah kesan sampingan yang mereka senangi, dan pengiraan tetap akan menewaskannya. Pemain yang menganggap had sebagai masalahnya telah mengenal pasti tebing lalu menyangkanya cerun.
Formula
Soalan
Ia membolehkan anda bertahan ke had lebih tinggi, tempat kehentian lebih jarang dan lebih besar. Kerugian jangkaan setiap dolar tidak berubah.
Nilai taruhan 10, 30, 70, 150, 310: had $500 dicapai selepas lima kekalahan, dan kehentian menelan $570. 2.70% yang sama.
Supaya seorang pemain tidak dapat mempertaruhkan lebih daripada yang mampu dibayar dengan selesa oleh rizab kasino. Pengurusan varians.
Teka-teki Matematik
Cuba ini sendiri dahulu. Setiap penyelesaian dilipat; bukanya apabila anda sudah bersedia.
Satu MartingalestrategiMartingaleProgresi yang menggandakan taruhan selepas setiap kekalahan. Lihat bahagian Strategi untuk perkara yang dilakukannya dan yang tidak.Baca sepenuhnya → bermula pada $100 pada merahtaruhanMerahTaruhan sama rata pada 18 nombor merah. Bahasa Perancis: rouge.Baca sepenuhnya → dan membenarkan paling banyak n taruhan dalam satu kitaran: selepas n kekalahan berturut-turut ia berputus asa dan bermula semula. Tulis hasil purata satu kitaran sebagai rumus dalam n, dan kirakannya bagi 5, 6 dan 7 taruhan pada roda Eropah.
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Puratanya ialah 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 bagi 5 taruhan, −$17.35 bagi 6 dan −$20.52 bagi 7. Membenarkan lebih banyak taruhan menjadikan purata kitaran lebih buruk, bukan lebih baik.
Satu kitaran menang $100 melainkan semua n taruhan kalah, yang berlaku dengan peluang qⁿ, dengan q = 19/37. Apabila semuanya kalah, nilai taruhan 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ berjumlah 100 × (2ⁿ − 1). Jadi puratanya ialah 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Di sini 2q = 38/37, sedikit lebih daripada 1, jadi (2q)ⁿ bertambah dengan n dan purata jatuh: n = 5 memberikan 1.1426 dan −$14.26; n = 6 memberikan 1.1735 dan −$17.35; n = 7 memberikan 1.2052 dan −$20.52. Tangga lebih panjang kalah kurang kerap, dalam 3.6%, 1.8% dan 0.9% kitaran, tetapi setiap kerugian dua kali lebih besar, dan lebih banyak wang melintasi meja setiap kitaran, pada 2.70% setiap taruhan.
Pada roda Amerika 2q = 40/38 dan angkanya ialah −$29.24, −$36.04 dan −$43.20 (Taylor, 2021). Dalam permainan tanpa sifarrodaSifarPoket hijau tunggal yang tidak diliputi taruhan sama rata, sedozen atau lajur; punca kelebihan kasino. Juga: sifar tunggal, 0.Baca sepenuhnya → 2q = 1, dan setiap kitaran berpurata tepat sifar walau sepanjang mana pun tangga itu.
“Martingale besar” menggandakan nilai taruhan selepas kalah dan menambah satu unitwangUnitNilai taruhan asas yang digunakan sistem atau pemain. Progresi diterangkan dalam unit agar terpakai di mana-mana meja.Baca sepenuhnya →, jadi nilai taruhan menjadi 1, 3, 7, 15, 31 … Berapa banyak anda berada di hadapan apabila kemenangan pertama datang pada taruhan ke-1, ke-2, ke-3 atau ke-k? Pada unit $10 dan had maksimum $500, berapa kerap satu kitaran putus, dan berapakah kos satu kitaran secara purata?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Kemenangan pada taruhan ke-k meninggalkan anda k unit di hadapan: +1, +2, +3 dan seterusnya. Pada $10 dan $500 kitaran itu putus selepas lima kekalahan, 3.57% kitaran, untuk −$570. Secara purata satu kitaran kehilangan $2.32 daripada $85.73 yang dipertaruhkan: 2.70%.
Nilai taruhan ke-k ialah 2ᵏ − 1 unit: 1, 3, 7, 15, 31. k − 1 nilai taruhan pertama berjumlah 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Kemenangan pada taruhan ke-k membayar 2ᵏ − 1, jadi kitaran berakhir (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k unit di hadapan: satu unit tambahan bagi setiap kekalahan sebelum kemenangan.
Pada unit $10, nilai taruhan ialah $10, $30, $70, $150 dan $310; yang seterusnya, $630, melebihi maksimum $500. Lima kekalahan berturut-turut, (19/37)⁵ = 3.57%, menelan 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Purata: kemenangan membawa $10 × k dengan peluang (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 bagi k = 1 hingga 5, dan kitaran terputus mengambil $570 dengan peluang 3.57%; bersama-sama −$2.32. Wang yang dipertaruhkan berpurata $85.73 satu kitaran, dan 2.32/85.73 = 2.70%. Martingale biasa di meja sama terputus selepas enam kekalahan, 1.83% kitaran, untuk −$630, dan kehilangan $1.74 daripada $64.20 yang dipertaruhkan: 2.70% sekali lagi.
Seorang pemain merancang Martingale pada merah dengan taruhan pertama $1 di meja yang hadnya $1,000, jadi sepuluh taruhan boleh dibuat: $1, $2, $4 dan seterusnya hingga $512. Berapa kerap satu kitaran kehilangan kesemua sepuluh, berapa lamakah itu mengambil masa secara purata, dan berapa kerap satu malam dengan 200 taruhan berakhir begitu?
Tunjukkan penyelesaian
Jawapan Satu kitaran kehilangan kesemua sepuluh kira-kira sekali dalam 784, yang menelan $1,023. Itu kira-kira 1,600 taruhan secara purata, dan satu malam dengan 200 taruhan menemui had itu kira-kira 11% daripada masa. Satu kitaran masih kehilangan $0.31 secara purata daripada $11.31 yang dipertaruhkan: 2.70%.
Taruhan pada merah kalah dengan peluang 19/37, termasuk sifar. Sepuluh berturut-turut: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128, kira-kira 1 dalam 784. Nilai taruhan 1 + 2 + 4 + … + 512 berjumlah $1,023.
Satu kitaran mengambil 2.05 taruhan secara purata, jadi 784 kitaran mengambil kira-kira 1,600 taruhan. Dikira putaran demi putaran, larian sepuluh kekalahan muncul di suatu tempat dalam 200 taruhan 11.3% daripada masa.
Antara malapetaka, pemain menang $1 satu kitaran: kira-kira $783 sebelum yang buruk, kemudian −$1,023, kira-kira −$240 sepanjang keseluruhan rentang. Bagi setiap kitaran: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. Wang yang dipertaruhkan setiap kitaran: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. Dan −0.31/11.31 = −2.70%.
Bandingkan taruhan pertama $10 pada had $500, enam taruhan: had itu datang sekali dalam 55 kitaran, dan satu malam 200 taruhan menemuinya 84% daripada masa. Had lebih tinggi menjadikan kemalangan lebih jarang dan lebih besar, bukan lebih murah.
Selingan komik
Lebih jarang dan lebih besar, pada setiap had. Hasil darabnya malar.
Sumber
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.